题目内容
【题目】如图：抛物线 
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P为线段BC上一点，过点P作直线ι⊥x轴于点F，交抛物线 
于点E．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；
（3）当PE取最大值时，把抛物线 向右平移得到抛物线 
，抛物线 与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线 应向右平移几个单位长度可得到抛物线 ？
【答案】
（1）解：当x=0时，y=-3，C（0，-3），
当y=0时， 
解得 
， 
，
A（-1，0），B（3，0）
（2）解：直线BC的解析式为 
，则P（x，x-3）（0≦x≦3） E 
．
PE= 
= 
当 
时，PE最大值= 
（3）解：E 
，直线BE的解析式为 
直线CM把△BCE的面积分成1:2．
M为BE的三等分点，有两种情况如图：
① 
和 
，过 
作 
于G，
则 
同理 
方法一：设抛物线 
为 
①当抛物线 过点 时， 
解得：
或 
<0（舍去）
②当抛物线 过点 
时， 
解得： 
或 
<0（舍去）
综上所述：把抛物线 
向右平移 
或 
个单位长度，就能得到抛物线 ．
方法二：过点 作 
//x轴交抛物线 对称轴左侧于 
当 
时， 
解得： 
或 
>1（舍去）
过点 
作 
//x轴交抛物线 对称轴左侧于 
当 
时， 
解得： 
或 
>1（舍去）
综上所述：把抛物线 
向右平移 或 个单位长度，就能得到抛物线 
．
【解析】（1）将x=0代入函数解析式求出对应的函数值，就可求出点C的坐标，再由y=0，求出对应的自变量的值，就可得出点A、B的坐标。
（2）利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，根据直线ι⊥x轴可知直线l与y轴平行，则F、P、E三点的横坐标相等，设出点P的坐标，就可表示出点E的坐标。因此PE的长=点P的纵坐标与点E的纵坐标之差，列出PE与x的函数关系式，再求出其顶点坐标，根据函数的性质即可得出PE的最大值。
（3）先用平移的单位设出c2的解析式．由于直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，根据等高三角形的面积比等于底边比，可得出ME：BE=1：2或2：1．因此本题要分两种情况进行讨论，可过M作x轴的垂线，先根据相似三角形求出M点的横坐标，然后根据直线BE的解析式，求出M点的坐标．由于抛物线c2经过M点，据此可求出抛物线需要平移的单位。
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
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