题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=ax2-5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y=
x2-
x+2；（2）直线BC的解析式y=-x+2；（3）N点的坐标为（5，2）、（2，-1）或（-3，14）．
【解析】
试题分析：（1）把点A坐标代入抛物线y=ax2-5ax+2（a≠0）求得抛物线的解析式即可；
（2）求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，再把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，求得k和b即可；
（3）设N（x，ax2-5ax+2），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．
试题解析：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2-5ax+2（a≠0）上，
∴a-5a+2=0，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=x2-x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x=，
∴点B（4，0），C（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得
，
解得k=-，b=2，
∴直线BC的解析式y=-x+2；
（3）设N（x，x2-x+2），分三种情况讨论：
①当△OBC∽△HNB时，如图1，
，
即
，
解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去），
∴点N坐标（5，2）；
②当△OBC∽△HBN时，如图2，
，
即
，
解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），
∴点N坐标（2，-1）；
③当N（x，x2-
x+2）在第二象限时，
H（x，0）在x轴的负半轴上，
∴BH=4-x，
∵△OBC∽△HNB，
∴
，
即
，
得到x2-x-12=0
解得x1=4（舍去）；x2=-3，
∴N点的坐标为（-3，14）
综上所述，N点的坐标为（5，2）、（2，-1）或（-3，14）,使得以点B、N、H为顶点的三角形与△OBC相似．
