Question

（2013•德阳）如图，直线y=kx+k（k≠0）与双曲线y=

n+1

x

交于C、D两点，与x轴交于点A．
（1）求n的取值范围和点A的坐标；
（2）过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S_△ABC=4，求双曲线的解析式；
（3）在（1）（2）的条件下，若AB=

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，求点C和点D的坐标，并根据图象直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由反比例函数图象位于第二、四象限，得到比例系数小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，对于直线解析式，令y=0求出x的值，确定出A的坐标即可；
（2）设C（a，b），表示出三角形ABC的面积，根据已知的面积列出关于a与b的关系式，利用反比例函数k的几何意义即可求出k的值，确定出反比例解析式；
（3）由CB垂直于y轴，得到B，C纵坐标相同，即B（0，b），在直角三角形AOB中，由AB与OA的长，利用勾股定理求出OB的长，确定出B坐标，进而确定出C坐标，将C代入直线解析式求出k的值，确定出一次函数解析式，与反比例解析式联立求出D的坐标，由C，D两点的横坐标，利用图象即可求出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围．

解答：解：（1）由图象得：n+1＜0，
解得：n＜-1，
由y=kx+k，令y=0，解得：x=-1，
则A坐标为（-1，0）；

（2）设C（a，b），
∵S_△ABC=

1

2

a•（-b）=4，
∴ab=-8，
∵点C在双曲线上，
∴y=-

8

x

；

（3）∵CB⊥y轴，∴B（0，b），
在Rt△AOB中，AB=

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，OA=1，
根据勾股定理得：OB=4，
∴B（0，-4），
∴C（2，-4），
将C代入直线y=kx+k中，得：2k+k=-4，即k=-

4

3

，
∴直线AC解析式为y=-

4

3

x-

4

3

，
联立直线与反比例解析式得：

y=- 4 3 x- 4 3 y=- 8 x

，
解得：

x=-3 y= 8 3

或

x=2 y=-4

，
∴D（-3，

8

3

），
则由图象可得：当x＜-3或0＜x＜2时，反比例函数的值小于一次函数的值．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．