Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是BD、AC的中点（如图）．
求证：（1）MN∥BC；
（2）MN=

1

2

（BC-AD）．

Answer 1

分析：（1）连接AM并延长，交BC于点E，证△ADM≌△EBM，推出AM=ME，AD=BE即可；
（2）根据EC=BC-AD和MN=

1

2

CE即可推出答案．

解答：（1）证明：连接AM并延长，交BC于点E（如图2），
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠BEM，∠ADM=∠EBM，
∵DM=BM，
∴△ADM≌△EBM（AAS），
∴AM=ME，AD=BE，
∵M、N分别是AE、AC的中点，
∴MN是△AEC的中位线，
∴MN=

1

2

EC，MN∥BC．

（2）证明：∵EC=BC-BE=BC-AD，
∴MN=

1

2

(BC-AD)．

点评：本题主要考查对梯形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能推出MN是△AEC的中位线是解此题的关键．