题目内容

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A(0，2)，B(－2，0)．

(1)求C，D两点的坐标．

(2)求证：EF为⊙O1的切线．

(3)探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)连接DE，∵CD是⊙O1的直径，

　　∴DE⊥BC，

　　∴四边形ADEO为矩形．

　　∴OE＝AD＝2，DE＝AO＝2．

　　在等腰梯形ABCD中，DC＝AB．

　　∴CE＝BO＝2，CO＝4．

　　∴C(4，0)，D(2，2)；

　　(2)连接O1E，在⊙O1中，O1E＝O1C，

　　∠O1EC＝∠O1CE，

　　在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB．

　　∴O1E∥AB，

　　又∵EF⊥AB，

　　∴O1E⊥EF．

　　∵E在AB上，

　　∴EF为⊙O1的切线

　　(3)解法一：存在满足条件的点P．

　　如图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC＝PM，

　　在矩形OMPN中，ON＝PM，

　　设ON＝x，则PM＝PC＝x，CN＝4－x，

　　tan∠ABO＝＝＝．

　　∴∠ABO＝60°，

　　∴∠PCN＝∠ABO＝60°．

　　在Rt△PCN中，

　　cos∠PCN＝，

　　即，

　　∴x＝．

　　∴PN＝CN·tan∠PCN＝(4－)·＝．

　　∴满足条件的P点的坐标为(，)．

　　解法二：存在满足条件的点P，

　　如图，在Rt△AOB中，AB＝．

　　过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC＝PM，

　　在矩形OMPN中，ON＝PM，

　　设ON＝x，则PM＝PC＝x，CN＝4－x，

　　∵∠PCN＝∠ABO，∠PCN＝∠AOB＝90°．

　　∴△PNC∽△AOB，

　　∴，即．

　　解得x＝．

　　又由△PNC∽△AOB，得，即，

　　∴PN＝．

　　∴满足条件的P点的坐标为(，)．

　　分析：(1)连接DE，由等腰梯形的对称性可知，△CDE≌△BAO，根据线段的等量关系求C，D两点的坐标；

　　(2)连接O1E，由半径O1E＝O1C，得∠O1EC＝∠O1CE，由等腰梯形的性质，得∠ABC＝∠DCB，故∠O1EC＝∠ABC，可证O1E∥AB，由EF⊥AB，证明O1E⊥EF即可；

　　(3)存在．过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，由PC＝PM，可知四边形OMPN为正方形，设ON＝x，则PM＝PC＝x，CN＝4－x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解．

　　点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰梯形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质．关键是根据等腰梯形的性质，作辅助线，利用相似三角形的性质求解．


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