题目内容
【题目】如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)求∠CPE的度数;
(2)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)90°;(2)AP=CE.理由参见解析.
【解析】
试题分析:(1)先证出△ABP≌△CBP,根据全等三角形的性质得到∠BAP=∠BCP,进而得∠DAP=∠DCP,由PA=PE,得到∠DAP=∠E,于是∠DCP=∠E,又因为∠PFC=∠DFE,所以∠CPF=∠EDF=90°,从而得到结论;(2)根据菱形的性质得到AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,根据全等三角形的性质得到PA=PC,∠BAP=∠BCP,根据等量减等量差相等和等腰三角形的性质得到∠DAP=∠DCP,∠DAP=∠AEP,等量代换得到∠DCP=∠AEP,∠EPC=∠EDC=60°,PE=PC=PA,推出△EPC是等边三角形,即可得到结论.
试题解析:(1)先证出△ABP≌△CBP,在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=90°;(2)根据题意,在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,在△ABP和△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,又∵PA=PE,∴PC=PE,∵PA=PE,∴∠DAP=∠AEP,∴∠DCP=∠AEP,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP,即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE.