题目内容

已知菱形ABCD的边长为5,∠DAB=60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG,设∠EAB=α,且0°<α<90°,连接DG、BE、CE、CF.
(1)如图(1),求证:△AGD≌△AEB;
(2)当α=60°时,在图(2)中画出图形并求出线段CF的长;
(3)若∠CEF=90°,在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.
(1)∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG,
∴AG=AD,AE=AB,∠GAD=∠EAB=α.
∵四边形AEFG是菱形,
∴AD=AB.
∴AG=AE.
∴△AGD≌△AEB.(3分)

(2)解法一:如图(1),当α=60°时,AE与AD重合,(4分)

作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°,DF=DC=5.
∴∠CDH=
1
2
∠CDF=60°,CH=
1
2
CF.
在Rt△CDH中,
∵CH=DCsin60°=5×
3
2
=
5
3
2
,(6分)
∴CF=2CH=5
3
.(7分)
解法二:如图(1),当α=60°时,AE与AD重合,(4分)
连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O.
由题意,知AF=AC,∠FAC=60°.
∴△AFC是等边三角形.
∴FC=AC.
由已知,∠DAO=
1
2
∠BAD=30°,AC⊥BD,
∴AO=ADcos30°=
5
3
2
.(6分)
∴AC=2AO=5
3

∴FC=AC=5
3
.(7分)

(3)如图(2),当∠CEF=90°时,(8分)
延长CE交AG于M,连接AC.
∵四边形AEFG是菱形,
∴EFAG.
∵∠CEF=90°,
∴∠GME=90°.
∴∠AME=90°.(9分)
在Rt△AME中,AE=5,∠MAE=60°,
∴AM=AEcos60°=
5
2
,EM=AEsin60°=
5
3
2

在Rt△AMC中,易求AC=5
3

∴MC=
AC2-AM2
=
5
11
2

∴EC=MC-ME=
5
11
2
-
5
3
2

=
5
2
11
-
3
).(11分)
∴S△CEF=
1
2
•EC•EF=
25(
11
-
3
)
4
.(12分)
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