Question

【题目】如图，已知⊙O为△ABC（∠A＜∠ABC）的外接圆，且AB为的直径，AB=8，点D为AB延长线上一点，点 E为半径OB上一点，连接CD、CE、OC，且∠BCD=∠A．

（1）求证：CD为的切线；

（2）若CB=CE，求证：CE2=CO2-OA·OE；

（3）在（2）的条件下，求OE+BC的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OE+BC有最大值为5．

【解析】

（1）运用圆的性质和角的和差，确定∠OCD=∠BCD+∠BCO=90°,即可证明；（2）先证明△OBC∽△CBE，运用其性质结合等量代换即可解答.（3）设BC=x，AB=8，∴OA=OC=4，结合（2）的结论，求二次函数的最小值即可；

解：（1）∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，

又∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠BCO=90°，∴CD为⊙O切线；

（2）∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，

又OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，

∴△OBC∽△CBE，

∴，即BC2=BE·OB，

又BC=EC，OB=OC=OA，

∴CE2=(OB-OE)·OB= CO2-OA·OE；

（3）设BC=x，∵AB=8，∴OA=OC=4，

由（2）知x2=16-4OE，∴OE=，

∴OE+BC==，

∵∠A＜∠ABC，

∴0＜x＜，

∴当x=2时，OE+BC有最大值为5．