题目内容

如图，矩形ABCD中，已知边AB、BC 的长恰为关于x的一元二次方程x²-（m-2）x+3m=0的两个根．动点P、Q分别从点B、C出发，其中，点P以a cm/s的速度，沿B→C的路线向点C运动；点Q以3cm/s的速度，沿C→D的路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）（t＞0），且当t=2时，P、Q两点恰好同时到达目的地．
（1）求m、a的值；
（2）是否存在这样的t，使得△APQ的外心恰好在△APQ的某一边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知得CD=6，
∴AB=6．
把x=6代入方程x²-（m-2）x+3m=0得m=16．
把m=16代入原方程，解得x₁=6，x₂=8，
∴BC=8．
∴点P的运动速度a=8÷2=4（cm/s）；

（2）要使△APQ的外心在△APQ的某一边上，
则△APQ为直角三角形．
显然∠PAQ不可能为直角．
若∠APQ=90°，则△ABP∽△PCQ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
若∠AQP=90°，同理求得t=2或t= $\text{[math]}$ ．
经检验，t= $\text{[math]}$ 不合题意，舍去，
∴t=2或t= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由点Q以3cm/s的速度，沿C→D的路线向点D运动，运动时间为t=2，可得AB=CD=6，代入x²-（m-2）x+3m=0求解即可；
（2）要使△APQ的外心在△APQ的某一边上，则△APQ为直角三角形；显然∠PAQ不可能为直角．分别从∠APQ=90°与∠AQP=90°分析，易得相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值．
点评：此题考查了一元二次方程的应用，以及相似三角形的判定与性质和圆的外心的性质．解此题的关键要抓住不变量，还要注意利用分类讨论的思想．解题时还要注意数形结合思想的应用．