题目内容
给定整数n≥3,实数a1,a2,…,an满足min1≤i<j≤n|ai-aj|=1.求
|ak|3的最小值.
n |
k=1 |
不妨设a1<a2<…<an,则对1≤k≤n,有|ak|+|an-k+1|≥|an-k+1-ak|≥|n+1-2k|,
所以
|ak|3=
(|ak|3+|an+1-k|3)=
(|ak|+|an+1-k|)(
(|ak|-|an+1-k|)2+
(|ak|+|an+1-k|)2)≥
(|ak|+|an+1-k|)3≥
|n+1-2k|3.
当n为奇数时,
|n+1-2k|3=2•23•
i3=
(n2-1)2.
当n为偶数时,
|n+1-2k|3=2
(2i-1)3=2(
j3-
(2i)3)=
n2(n2-2).
所以,当n为奇数时,
|ak|3≥
(n2-1)2,当n为偶数时,
|ak|3≥
n2(n2-2),等号均在ai=i-
,i=1,2,n时成立.
因此,
|ak|3的最小值为
(n2-1)2(n为奇数),或者
n2(n2-2)(n为偶数).
所以
n |
k=1 |
1 |
2 |
n |
k=1 |
1 |
2 |
n |
k=1 |
3 |
4 |
1 |
4 |
1 |
8 |
n |
k=1 |
1 |
8 |
n |
k=1 |
当n为奇数时,
n |
k=1 |
| ||
i=1 |
1 |
4 |
当n为偶数时,
n |
k=1 |
| ||
i=1 |
n |
j=1 |
| ||
i=1 |
1 |
4 |
所以,当n为奇数时,
n |
k=1 |
1 |
32 |
n |
k=1 |
1 |
32 |
n+1 |
2 |
因此,
n |
k=1 |
1 |
32 |
1 |
32 |
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