Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，求：

（1）BD的长；

（2）阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

（1）连接AD，由于AC是⊙O的切线，所以AB⊥AC，再根据∠C=45°可知AB=AC=2，由勾股定理可求出BC的长，由于AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，故D是BC的中点，故可求出BD的长度；

（2）连接OD，因为O是AB的中点，D是BC的中点，所以OD是△ABC的中位线，所以OD⊥AB，故弧BD＝弧AD，所以弧BD与弦BD组成的弓形的面积等于弧AD与弦AD组成的弓形的面积，所以S阴影=S△ABC-S△ABD，故可得出结理论．

解：（1）连接AD，

∵AC是⊙O的切线，

∴AB⊥AC，

∵∠C＝45°，

∴AB＝AC＝2，

∴BC＝＝＝2，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴D是BC的中点，

∴BD＝BC＝；

（2）连接OD，

∵O是AB的中点，D是BC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD＝1，

∴OD⊥AB，

∴弧BD＝弧AD，

∴弧BD与弦BD组成的弓形的面积等于弧AD与弦AD组成的弓形的面积，

∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD＝ABAC﹣ABOD＝×2×2﹣×2×1＝2﹣1＝1．