Question

已知a，b是整数，x²-ax+3-b=0有两个不相等的实数根，x²+（6-a）x+7-b=0有两个相等的实数根，x²+（4-a）x+5-b=0没有实数根，求a，b的值．

Answer 1

分析：由x²-ax+3-b=O有两个不相等的实数根，则△₁=a²-4（3-b）=a²+4b-12＞0，即a²+4b＞12①；由x²+（6-a）x+7-b=O有两个相等的实数根，则△₂=（6-a）²-4（7-b）=a²+4b-12a+8=0，即a²+4b=12a-8②；由x²+（4-a）x+5-b=0没有实数根，则△₃=（4-a）²-4（5-b）=a²+4b-8a-4＜0，即a²+4b＜8a+4③；由②变形得a²+4b=12a+8，然后把a²+4b=12a+8分别代入①③可得到a的取值范围，加上a为整数，就可求出a，再代入②可得到b．

解答：解：根据题意得，△₁=a²-4（3-b）=a²+4b-12＞0，即a²+4b＞12①；
△₂=（6-a）²-4（7-b）=a²+4b-12a+8=0，即a²+4b=12a-8②；
△₃=（4-a）²-4（5-b）=a²+4b-8a-4＜0，即a²+4b＜8a+4③；
把②分别代入①③得，12a-8＞12且12a-8＜8a+4，解不等式组得；

5

3

＜x＜3，而a为整数，
所以a=2，再代入②得，4+4b=12×2-8，解得b=3，
∴a=2，b=3．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了代数式的变形能力和不等式的解法．