题目内容
【题目】如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；
（1）如图2，当∠α＝ 时，
，当∠α＝ 时，DE⊥BC；
（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，
①此时∠α的度数范围是 ；
②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由；
③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．
【答案】（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和不变，理由见解析③55°＜α≤60°．
【解析】
（1）当∠EDA＝∠B＝40°时，
，得出30°＋α＝40°，即可得出结果；当
时，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出结果；
（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，当点C在DE边上时，α＋30°＝85°，解得α＝55°，当点C在DF边上时，α＝85°，即可得出结果；
②连接MN，由三角形内角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，则∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形内角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出结论；
③由
，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°∠2），解得∠2≥40°，由三角形内角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，则∠2＝100°α，得出100°α≥40°，解得α≤60°，再由当顶点C在△DEF内部时，55°＜α＜85°，即可得出结果．
解：（1）∵∠B＝40°，
∴当∠EDA＝∠B＝40°时，，
而∠EDF＝30°，
∴
，
解得：α＝10°；
当时，DE⊥AB，
此时∠A+∠EDA＝180°，
，
∴
，
解得：α＝100°；
故答案为10°，100°；
（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，
∴∠CDA＝85°，
当点C在DE边上时，
，
解得：
，
当点C在DF边上时，
，
∴当顶点C在△DEF内部时，
；
故答案为：；②∠1与∠2度数的和不变；理由如下：
连接MN，如图所示：
在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，
∴∠CNM+∠CMN＝90°，
在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，
即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，
∴
；
③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，
∴
，
∴∠2≥40°，
∵
，
即
，
∴
，
∴
，
解得：α≤60°，
∵当顶点C在△DEF内部时，，
∴∠α的度数范围为
．
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【题目】某初中学校组织200位同学参加义务植树活动，每人植树的棵数在5至10之间.甲同学抽查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表如下：（单位：棵）
每人植树情况 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数 | 3 | 6 | 3 | 11 | 6 |
人数/抽查总人数 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.4 | 0.2 |
根据以上材料回答下列问题：
（1）此表的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是________，正确的数据应该是________；
（2）表中30位同学植树情况的中位数是________棵，众数是________棵；
（3）并用该样本估计本次活动200位同学一共植树多少棵？
