Question

如图，抛物线y=-

1

6

x2+

5

6

x+4与直线y=

1

2

x+

3

2

交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若点P是直线x=1上一点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将两个函数解析式联立，组成一个方程组求得x、y的值即可得到两点的坐标；
（2）存在符合条件的点P共有3个．因而分三类情形探求．
①以AB为腰且顶角为∠A：△P₁AB；②以AB为腰且顶角为∠B：△P₂AB；③以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即△P₃AB．综上得出符合条件的点．

解答：解：（1）由题意得：

y=- 1 6 x2+ 5 6 x+4 y= 1 2 x+ 3 2

解得：

x=-3 y=0

或

x=5 y=4

∴A（-3，0）B（5，4）

（2）存在符合条件的点P共有4个．以下分三类情形探求．
由A（-3，0），B（5，4），C（0，4），可得BC∥x轴，BC=AC，
设直线x=1与x轴交于N，与CB交于M，
过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=4，BM=4，
①以AB为腰且顶角为∠A：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80，
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

80-42

=8，
∴P₁（1，-8）或P₁′（1，8），
②以AB为腰且顶角为∠B：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中，MP₂=

BP22-BM2

80-42

=8，
∴P₂（1，-4）或P₂′（1，12），
③以AB为底，顶角为∠P的△PAB有1个，即△P₃AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P₃，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P₃作P₃K垂直y轴，垂足为K，显然Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=1，
∴CK=2，于是OK=2，
∴P₃（1，2），
而P₃（1，2）在线段AB上，构不成三角形，舍去．
综上，符合条件的点P共有4个，分别为：P₁（1，-8），P₁′（1，8），P₂（1，-4），P₂′（1，12）．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，是一道难度较大的二次函数题，综合考查了等腰三角形的性质，需根据三角形的顶点分类讨论，全面考虑点P所在位置的各种情况．