Question

如图，二次函数y=ax²-（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，-1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．
（1）点B与⊙C的位置关系是

 

；
（2）点A是否在二次函数的图象上

 

；（填“是”或“否”）
（3）若DQ恰好为⊙C的切线，
①猜想：四边形OAQD的形状是

 

，证明你的猜想；
②求二次函数的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的性质得出BC=DA即可；
（2）把A（1，-1）代入二次函数y=ax²-（a+1）x看左边、右边是否相等即可；
（3）①连接AD、CD，根据AO是⊙C的直径得出∠ADO=90°，推出四边形ABOD是正方形，得到OD∥AD，根据DQ是⊙C的切线．推出OA∥DQ即可；②由四边形OAQD是平行四边形，推出AQ=OD=1，得出Q（2，-1），代入二次函数的解析式求出a即可．

解答：解：（1）∵∠ABO=90°，AC=OC，
∴BC=DA，
∴点B在⊙C上
故答案为：点B在⊙C上．

（2）解：把A（1，-1）代入二次函数y=ax²-（a+1）x得：左边=1，右边=1，左边=右边，
∴点A在二次函数的图象上
故答案为：是．

（3）①故答案为：平行四边形．
证明：连接AD、CD，
∵AO是⊙C的直径
∴∠ADO=90°，
∵∠ABO=∠BOD=90°，又A（1，-1），
∴四边形ABOD是正方形，
∴OD∥AD，CD⊥OA．
∵DQ是⊙C的切线．
∴CD⊥DQ．
∴OA∥DQ
∴四边形OAQD是平行四边形．
②解：∵四边形OAQD是平行四边形
∴AQ=OD=1，
∴BQ=2，
∴Q（2，-1），
∴-1=4a-2（a+1），
∴a=

1

2

，
∴二次函数的表达式为y=

1

2

x2-

3

2

x．
答：二次函数的表达式为y=

1

2

x2-

3

2

x．

点评：本题主要考查对平行线的判定，正方形的性质和判定，平行四边形的判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，点与圆的位置关系，切线的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．