题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过上一点T作⊙O的切线TC,且TC⊥AD于点C.
(1)若∠DAB=50°,求∠ATC的度数;
(2)若⊙O半径为2,CT=,求AD的长.
【答案】(1)、65°;(2)、2.
【解析】
试题分析:(1)、连接OT,根据同角的余角相等得出∠CAD=∠ATO,进而得出∠DAB=2CAT,解答即可;(2)、过O作OE⊥AC于E,连接OT、OD,得出矩形OECT,求出OT=CE,根据垂径定理求出DE,根据矩形性质求出OT=CT,根据勾股定理求出即可.
试题解析:(1)、连接OT,如图1:
∵TC⊥AD,⊙O的切线TC, ∴∠ACT=∠OTC=90°, ∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO, ∴∠CAT=∠ATO,
∵OA=OT, ∴∠OAT=∠ATO, ∴∠DAB=2∠CAT=50°, ∴∠CAT=25°, ∴∠ATC=90°﹣25°=65°;
(2)、过O作OE⊥AC于E,连接OT、OD,如图2:
∵AC⊥CT,CT切⊙O于T, ∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°, ∴四边形OECT是矩形,
∴OT=CE=OD=2, ∵OE⊥AC,OE过圆心O, ∴AE=DE=AD, ∵CT=OE=,
在Rt△OED中,由勾股定理得:ED=1, ∴AD=2.
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