题目内容
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④
| BC2 |
| CF2 |
| BG |
| GF |
其中正确的序号是
①②④
①②④
．分析：①根据正方形的性质求证△BHE为直角三角形即可得出结论；
②由①求证△CGF∽△BCF．利用其对应边成比例即可求得结论；
③由①求证△BHE≌△CGF即可得出结论，
④利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．
②由①求证△CGF∽△BCF．利用其对应边成比例即可求得结论；
③由①求证△BHE≌△CGF即可得出结论，
④利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．
解答：解：①∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BEA=∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB=∠AEB
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF为直角三角形，
∴CG∥AE交BF于点G，
∴△BHE也为直角三角形，
∴tan∠HBE=cot∠HEB；
∴①正确．
②由①可得△CGF∽△BCF，
∴
=
，
∴CG•BF=BC•CF，
∴②正确；
③由①得△BHE≌△CGF，
∴BH=CG，而不是BH=FG
∴③BH=FG错误；
④∵△BCG∽△BCF，
∴
=
，即BC2=BG•BF，
同理CF2=BF•GF，
∴
=
，
∴④正确，综上所述，正确的有①②④．
故答案是：①②④．
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BEA=∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB=∠AEB
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF为直角三角形，
∴CG∥AE交BF于点G，
∴△BHE也为直角三角形，
∴tan∠HBE=cot∠HEB；
∴①正确．
②由①可得△CGF∽△BCF，
∴
| CG |
| BC |
| CF |
| BF |
∴CG•BF=BC•CF，
∴②正确；
③由①得△BHE≌△CGF，
∴BH=CG，而不是BH=FG
∴③BH=FG错误；
④∵△BCG∽△BCF，
∴
| BC |
| BF |
| BG |
| BC |
同理CF2=BF•GF，
∴
| BC2 |
| CF2 |
| BG |
| GF |
∴④正确，综上所述，正确的有①②④．
故答案是：①②④．
点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，步骤繁琐，有一定的拔高难度，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图：在正方形网格上有△ABC，△DEF，说明这两个三角形相似，并求出它们的相似比．
，交BC于点E．
23、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6