Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：
（1）∠CAD的度数；
（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数；
（3）若AD=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

解：（1）∵弧AC=弧AC，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=30°，
答：∠CAD的度数是30°．

（2）∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=70°-30°=40°，
∴∠BCD=∠BAD=40°，
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=100°，
∵∠AFC=∠ABC-∠BCF=60°-40°=20°，
答：∠AEC=100°，∠AFC=20°．

（3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，
∵∠CAD=30°，AO=3，
∴OQ=OA=，
由勾股定理得：AQ=，
由垂径定理得：AC=2AQ=3，
∵∠AOC=2∠ABC=120°，
∴阴影部分的面积是S_扇形OAC-S_△AOC=-×3×=3π-，
答：图中阴影部分的面积是3π-．
分析：（1）根据圆周角定理求出∠ADC、∠ACD的度数，相减即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三角形的外角性质求出即可；
（3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度数，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面积，相减即可．
点评：本题综合考查了圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积，三角形的外接圆与外心，三角形的外角性质等知识点的应用，此题是一道综合性比较强的题目，题目比较典型，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．