题目内容
【题目】阅读材料并解答问题:
关于勾股定理的研究有一个很重要的内容是勾股数组,在数学课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”,以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法:
方法1:若m为奇数(m≥3),则a=m,b=(m2﹣1)和c=(m2+1)是勾股数.
方法2:若任取两个正整数m和n(m>n),则a=m2﹣n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股数.
(1)在以上两种方法中任选一种,证明以a,b,c为边长的△ABC是直角三角形;
(2)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如下图所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成,要求每个三角形顶点处都植一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,且每个三角形的各边长之比为5:12:13,那么这四个直角三角形的边长共需植树 棵.
(3)某家俱市场现有大批如图所示的梯形边角余料(单位:cm),实验初中数学兴趣小组决定将其加工成等腰三角形,且方案如下:
三角形中至少有一边长为10 cm;三角形中至少有一边上的高为8 cm,
请设计出三种面积不同的方案并在图上画出分割线,求出相应图形面积.
【答案】(1)证明见解析;
(2)120;
(3)画分割线见解析,面积分别为48 cm、40cm和 cm的等腰三角形.
【解析】试题分析:(1)先比较三边的大小,确定为斜边的是c,再求a2+b2=[(m2+1)]2=c2;
(2)由各边上相邻两棵树之间的距离均为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,可得三角形最短边为5米,又有各边长之比为5:12:13,可得其他两边分别为12、13米.则每个三角形的边长可植树5+12+13=30棵,四个直角三角形的边长共需植树120棵.
(3)由图形可知,要求有又一边为10cm,可以将其作为三角形的一斜边,将另一边的边长截为10cm.利用勾股定理和三角形求面积公式,即可求出.
【解答】解:(1)方法1、c-a=(m2+1)-m=(m2-2m+1)=(m-1)2>0,c-b=1>0,
所以c>a,c>b.而a2+b2=m2+[(m2-1)]2=(m4-2m2+1)+m2
=(m4+2m2+1)=[(m2+1)]2=c2,
所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形.
(2)∵各边上相邻两棵树之间的距离均为1米,如果每个三角形最短边上都植6棵树,
∴三角形最短边为5米,
又∵各边长之比为5:12:13,
∴其他两边分别为12、13米.
∴每个三角形的边长可植树5+12+13=30棵,
∴四个直角三角形的边长共需植树120棵.
(3)
解:由勾股定理得:AB=则
如图(1)AD=AB=10 cm时,BD=6 cm,S==48 cm;
如图(2)BD=AB=10 cm时,S==40cm;
如图(3)线段AB的垂直平分线交BC延长线于点D,则AB=10,设DC=x,则AD=BD=6+x,
在Rt△ACD中,S==;
答:面积分别为48 cm、40cm和 cm的等腰三角形