题目内容
如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点
分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：
| AH |
| AD |
| EF |
| BC |
（2）设EF=x，矩形EFPQ的面积为y，求y与x函数关系式，并求y的最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式．
分析：（1）可以证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比相等即可证得；
（2）根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解；
（3）分0≤t＜4，4≤t＜5，5≤t≤9三种情况进行讨论，分别求得函数的解析式．
（2）根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解；
（3）分0≤t＜4，4≤t＜5，5≤t≤9三种情况进行讨论，分别求得函数的解析式．
解答：证明：（1）∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．（1分）
∴△AEF∽△ABC．（2分）
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．（3分）
∴
=
．（4分）
（2）由（1）得
=
，
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴
=
．
∴AH=
x．（5分）
∴EQ=HD=AD-AH=8-
x．（6分）
∴y=EF×EQ=x（8-
x）=-
x2+8x=-
(x-5)2+20．（8分）
∵a=-
＜0，
∴当x=5时，y的最大值为20．（9分）
（3）S=
（12分）
附：第（3）小题详解：由（2）得EF=5，EQ=4．
∵∠C=45°，
∴△PFC为等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．
分三种情况讨论：
1如图1，当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN为等腰直角三角形．
∴FN=MF=t．
∴S=S矩形EFPQ-S△MFN=20-
t2=-
t2+20；
②如图2，4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S梯形EMCQ=
[(5-t)+(9-t)]×4=-4t+28；
③如图3，5≤t≤9时，设EQ与AC交于点K，
则KQ=QC=9-t．
∴S=S△KQC=
(9-t)2．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=
∴△AEF∽△ABC．（2分）
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．（3分）
∴
| AH |
| AD |
| EF |
| BC |
（2）由（1）得
| AH |
| AD |
| EF |
| BC |
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴
| AH |
| 8 |
| x |
| 10 |
∴AH=
| 4 |
| 5 |
∴EQ=HD=AD-AH=8-
| 4 |
| 5 |
∴y=EF×EQ=x（8-
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵a=-
| 4 |
| 5 |
∴当x=5时，y的最大值为20．（9分）
（3）S=
|
附：第（3）小题详解：由（2）得EF=5，EQ=4．
∵∠C=45°，
∴△PFC为等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．
分三种情况讨论：
1如图1，当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN为等腰直角三角形．
∴FN=MF=t．
∴S=S矩形EFPQ-S△MFN=20-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②如图2，4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S梯形EMCQ=
| 1 |
| 2 |
③如图3，5≤t≤9时，设EQ与AC交于点K，
则KQ=QC=9-t．
∴S=S△KQC=
| 1 |
| 2 |
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=
|
点评：本题主要考查了相似三角形的性质与二次函数的应用，分情况进行讨论是关键．
练习册系列答案
相关题目
20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰三角形，如此继续下去，直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠，这时这个三角形的斜边为
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（ ）
如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=100°，∠B=