Question

【题目】在ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.

（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC=2DE，求sin∠CDB的值.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵DE∥BC，EC∥AB，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴EC∥DB，且EC=DB．

在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，

∴AD=DB=CD．

∴EC=AD．

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵ED∥BC．

∴∠AOD=∠ACB．

∵∠ACB=90°，

∴∠AOD=∠ACB=90°．

∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）

解： 过点C作CF⊥AB于点F，由（1）可知，BC=DE，设BC=x，则AC=2x，

在Rt△ABC中，AB= ，

CD= AB= ，

因为 AB·CF= AC·BC，

所以CF= x，

则sin∠CDB= = .

【解析】（1）根据两组对边平行DE∥BC，EC∥AB，可得四边形DBCE是平行四边形．则EC∥DB，且EC=DB．再由直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半，可得
AD=DB=CD，EC=AD．可得四边形ADCE是平行四边形．再根据对角线互相垂直的平行四边形ADCE是菱形；（2）根据AC=2DE=2BC，设BC=x，从而可得AC，由面积法可得CF，由斜边的中线定理得CD的长，从而可求sin∠CDB.
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．