Question

【题目】观察、猜想、探究：

在中，．

如图，当，AD为的角平分线时，求证：；

如图，当，AD为的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；

如图，当AD为的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) AB=CD+AC ,理由见解析;(3) B=CD-AC,理由见解析.

【解析】

(1)过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE=AC，∠AED=∠ACB，由∠ACB=2∠B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE=DE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证；

(2)AB=CD+AC，理由为：在AB上截取AG=AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同(1)即可得证；

(3)AB=CD-AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，同(2)即可得证．

过D作，交AB于点E，如图1所示，

为的平分线，，，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

又，

，

，

则；

，理由为：

在AB上截取，如图2所示，

为的平分线，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

又，

，

，

则；

，理由为：

在AF上截取，如图3所示，

为的平分线，

，

在和中，

，

≌，

，，即，

，

，

又，

，

.