Question

23、如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q，
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求证：∠BQM=60°．
若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？（只判断，不用证明）
（3）若将题中的条件“点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，你能求得∠BQM的度数吗？试试看．

Answer 1

分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再由题中BM=CN，即可得出结论；
（2）由（1）中可得∠BAM=∠CBN，再由∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN，即通过角之间的转化即可求解；
（3）求解过程与（1）、（2）相同，只不过把等边三角形改为正方形而已．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
又BM=CN，
∴△ABM≌△BCN；

（2）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠ABM=∠BCN=60°，AB=BC，又BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
又∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°；

（3）如图所示，

由题中条件可得Rt△ABM≌Rt△CBN，
∴∠BAM=∠CBN，
又∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=90°．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及一些等边三角形及正方形的性质，应熟练掌握．