Question

已知a是方程x²-5x+1=0的一个根，那么a⁴+a^-4的末位数字是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9

Answer 1

【答案】分析：本题根据一元二次方程的根与系数的关系求解，方程x²-5x+1=0两根之积为1，已知x=a是方程的一个根，则方程的另一个根为a^-1．则a⁴+a^-4=23²-2，故可求得代数式的末位数字．
解答：解：根据韦达定理可得：方程x²-5x+1=0的两根之积为1，两根之和为5，
∵a是方程x²-5x+1=0的一个根，
∴另一个根为a^-1，
∴a+a^-1=5，
∴a⁴+a^-4=（a²+a^-2）²-2=[（a+a^-1）²-2]²-2，
∵23²末位数字是9，
∴a⁴+a^-4末位数字为7．
故本题选C．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．要求熟练运用此公式解题．解题关键是能用完全平方公式把a⁴+a^-4表示为[（a+a^-1）²-2]²-2的形式．