Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，﹣）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）对称轴l与⊙C相交，见解析；（3）P（30，﹣2）或（46，100）

【解析】

（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；

（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；

（3）分∠ACP＝90°、∠CAP＝90°两种情况，分别求解即可．

解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣11）2﹣，

∵抛物线经过点A（0，8），

∴8＝a（0﹣11）2﹣，

解得a＝，

∴抛物线为y＝＝；

（2）设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC＝∠AOB＝90°．

∵y＝＝0时，x1＝16，x2＝6．

∴A（0，8）、B（6，0）、C（16，0），

∴OA＝8，OB＝6，OC＝16，BC＝10；

∴AB＝＝＝10，

∴AB＝BC．

∵AB⊥BD，

∴∠ABC＝∠EBC+90°＝∠OAB+90°，

∴∠EBC＝∠OAB，

∴，

∴△OAB≌△EBC（AAS），

∴OB＝EC＝6．

设抛物线对称轴交x轴于F．

∵x＝11，

∴F（11，0），

∴CF＝16﹣11＝5＜6，

∴对称轴l与⊙C相交；

（3）由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+8，

①当∠ACP＝90°时，

则直线CP的表达式为：y＝2x﹣32，

联立直线和抛物线方程得，

解得：x＝30或16（舍去），

故点P（30，﹣2）；

当∠CAP＝90°时，

同理可得：点P（46，100），

综上，点P（30，﹣2）或（46，100）；