题目内容
【题目】(本题满分8分)已知:如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系: ;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数: 个;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.利用(1)的结论,可求得∠P的度数是 ;
(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,请直接写出∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系是 .
【答案】(1)∠A+∠D=∠C+∠B(2)6个(3)45°(4)2∠P=∠D+∠B
【解析】试题分析:(1)利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC,再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC,然后整理即可得解;
(2)根据“8字形”的结构特点,根据交点写出“8字形”的三角形,然后确定即可;
(3)根据(1)的关系式求出∠OCB﹣∠OAD,再根据角平分线的定义求出∠DAM﹣∠PCM,然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解;
(4)根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB﹣∠OAD,再用∠D、∠P表示出∠DAM﹣∠PCM,然后根据角平分线的定义可得∠DAM﹣∠PCM=(∠OCB﹣∠OAD),然后整理即可得证.
解:(1)在△AOD中,∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D,
在△BOC中,∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C,
∵∠AOD=∠BOC(对顶角相等),
∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C,
∴∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)交点有点M、O、N,
以M为交点有1个,为△AMD与△CMP,
以O为交点有4个,为△AOD与△COB,△AOM与△CON,△AOM与△COB,△CON与△AOD,
以N为交点有1个,为△ANP与△CNB,
所以,“8字形”图形共有6个;
(3)∵∠D=40°,∠B=36°,
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°,
∴∠OCB﹣∠OAD=4°,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=∠OAD,∠PCM=∠OCB,
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=(∠OAD﹣∠OCB)+∠D=×(﹣4°)+40°=38°;
(4)根据“8字形”数量关系,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
所以,∠OCB﹣∠OAD=∠D﹣∠B,∠PCM﹣∠DAM=∠D﹣∠P,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=∠OAD,∠PCM=∠OCB,
∴(∠D﹣∠B)=∠D﹣∠P,
整理得,2∠P=∠B+∠D.