题目内容

【题目】(本题满分8分)已知:如图1,线段ABCD相交于点O,连接ADCB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试解答下列问题:

(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:   

(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:   个;

(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线APCP相交于点P,并且与CDAB分别相交于MN.利用(1)的结论,可求得∠P的度数是   

(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,请直接写出∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系是   

【答案】(1∠A+∠D=∠C+∠B26个(345°42∠P=∠D+∠B

【解析】试题分析:1)利用三角形的内角和定理表示出∠AOD∠BOC,再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC,然后整理即可得解;

2)根据“8字形的结构特点,根据交点写出“8字形的三角形,然后确定即可;

3)根据(1)的关系式求出∠OCB﹣∠OAD,再根据角平分线的定义求出∠DAM﹣∠PCM,然后利用“8字形的关系式列式整理即可得解;

4)根据“8字形∠B∠D表示出∠OCB﹣∠OAD,再用∠D∠P表示出∠DAM﹣∠PCM,然后根据角平分线的定义可得∠DAM﹣∠PCM=∠OCB﹣∠OAD),然后整理即可得证.

解:(1)在△AOD中,∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D

△BOC中,∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C

∵∠AOD=∠BOC(对顶角相等),

∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C

∴∠A+∠D=∠B+∠C

2)交点有点MON

M为交点有1个,为△AMD△CMP

O为交点有4个,为△AOD△COB△AOM△CON△AOM△COB△CON△AOD

N为交点有1个,为△ANP△CNB

所以,“8字形图形共有6个;

3∵∠D=40°∠B=36°

∴∠OAD+40°=∠OCB+36°

∴∠OCB﹣∠OAD=4°

∵APCP分别是∠DAB∠BCD的角平分线,

∴∠DAM=∠OAD∠PCM=∠OCB

∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P

∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=∠OAD﹣∠OCB+∠D=×﹣4°+40°=38°

4)根据“8字形数量关系,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B∠DAM+∠D=∠PCM+∠P

所以,∠OCB﹣∠OAD=∠D﹣∠B∠PCM﹣∠DAM=∠D﹣∠P

∵APCP分别是∠DAB∠BCD的角平分线,

∴∠DAM=∠OAD∠PCM=∠OCB

∠D﹣∠B=∠D﹣∠P

整理得,2∠P=∠B+∠D

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