Question

如图，二次函数y=x²+2mx+m²-4的图象与x轴的负半轴相交于A、B两点（点A在左侧），一次函数y=2x+b的图象经过点B，与y轴相交于点C．
（1）求A、B两点的坐标（可用m的代数式表示）；
（2）如果?ABCD的顶点D在上述二次函数的图象上，求m的值．

Answer 1

解：（1）当y=0时，x²+2m+m²-4=0，
（x+m+2）（x+m-2）=0，x₁=-2-m，x₂=2-m．（1分）
∴A（-2-m，0），B（2-m，0）．（1分）
（2）∵一次函数y=2x+b的图象经过点B，
∴0=2（2-m）+b，
∴b=2m-4．（1分）
∴点C（0，2m-4）．（1分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=4，
∴D（-4，2m-4）．（1分）
∵点D在二次函数的图象上，
∴2m-4=16-8m+m²-4，m²-10m+16=0，m₁=2，m₂=8．（1分）
其中m=2不符合题意，∴m的值为8．…（1分）
分析：（1）令y=0，得到有关x的一元二次方程，然后解方程，方程的解中较大的为点B的横坐标，较小的为点A的横坐标；
（2）首先求得点C的坐标，利用平行四边形的性质可以得到D点的坐标，根据点D在二次函数的图象上，将点D的坐标代入到二次函数的解析式中即可求得m的值．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是正确的求二次函数与两坐标轴的交点坐标．