Question

【题目】如图1,已知抛物线与轴交于A,B（点A在点B的右边），与轴交于点C.过A,C两点作直线，P是抛物线上的动点，过P作PD⊥轴，垂足为D，交直线于点E.设点P的横坐标为.

（1）求直线的函数表达式;

（2）问是否存在点P，使O,E,C,P四点能构成平行四边形,若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

（3）如图2，过A点作直线⊥,连接OE,作△AOE的外接圆,交直线于点F,连接OF,EF.当△EOF的面积最小时,求点P的坐标和最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在（3）P( 2,6)， 最小值为4

【解析】（1）将A，C的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式；（2）由题意已知P、E的坐标，又由P作PD⊥x轴，要使O，E，C，P四点能构成平行四边形，只需PE=0C=4即可，可分当点P在直线的上（下）方求出m；（3）先证明△OEF为等腰直角三角形，求出S△OEF的面积，即可求出最小值.

解：（1）由题得:A(4,0), C(0，4)

设直线的表达式为 故得：

∴

∴直线的表达式为：

（2）

答: 存在.

由题可知:

∵PD⊥轴 ∴PE∥轴

∴ 要使O,E,C,P四点能构成平行四边形只需PE=0C=4即可

可分以下两种情形：

(1)当点P在直线的上方（）时

PE=

解得：

（2）当点P在直线的下方（或）

PE=

解得：

由上知：当或时，存在点P，使O,E,C,P四点能构成平行四边形

先证明△OEF为等腰直角三角形

得出

当 OE⊥直线时，OE的长度最短

∴ P( 2,6)， 最小值为4

“点睛”此题主要考查了二次函数的有关知识，是一道综合性较强的考题，主要考查学生数形结合的数学思想方法，以及分类讨论思想的应用，解题时应注意不要漏解.