Question

将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．

（1）当m=3时，点B的坐标为       ，点E的坐标为         ；
（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如图，若点E的纵坐标为－1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）。
（2）点E能恰好落在x轴上。理由如下：
∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°。
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m。
如图1，假设点E恰好落在x轴上，

在Rt△CDE中，由勾股定理可得
，
则有。
在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²，
即，解得。
（3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，

在Rt△PDE中，由勾股定理可得
，
∴BF=DP=。
在Rt△AEF中，AF=AB?BF=m?，EF=5，AE=m，
∵AF²+EF²=AE²，即，解得m=3。
∴AB＝3，AF＝2，E（2，－1）。
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，∴△AFG∽△ABD。
∴，即，解得FG=2。∴EG=EF－FG=3。∴点G的纵坐标为2。
∵，
∴此抛物线的顶点必在直线x＝2上。
又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，
∴此抛物线的顶点必在EG上。
∴－1＜10－20a＜2，解得。
∴a的取值范围为。

试题分析：（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标。
（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可。
（3）过点E作EF⊥AB于F，EF分别与 AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，首先利用勾股定理求得线段DP的长，从而求得线段BF的长，再利用△AFG∽△ABD得到比例线段求得线段FG的长，最后求得a的取值范围。