题目内容
已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.(1)当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),易证:OD+OE=
2 |
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
分析:(1)CD与OA垂直时,根据勾股定理易得OC与OD、OE的关系,将所得的关系式相加即可得到答案.
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,易得△CKD≌△CHE,进而可得出证明;判断出结果.解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系,进而得出OC与OD、OE的关系;最后转化得到结论.
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,易得△CKD≌△CHE,进而可得出证明;判断出结果.解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系,进而得出OC与OD、OE的关系;最后转化得到结论.
解答:解:(1)当CD与OA垂直时,
∵△CDO为Rt△,
∴OC=
=
=
OD,
∴
OC=
•
OD=2OD,
由题意得四边形ODCE是正方形,
∴OD+OE=OD+OD=2OD,
∴OD+OE=
OC.
(2)过点C分别作CK⊥OA,垂足为K,CH⊥OB,垂足为H.
∵OM为∠AOB的角平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,
∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°,
又∵∠1与∠2都为旋转角,
∴∠1=∠2,
∴△CKD≌△CHE,
∴DK=EH,
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK.
由(1)知:OH+OK=
OC,
∴OD+OE=
OC.
(3)结论不成立.
过点C分别作CK⊥OA,
CH⊥OB,
∵OC为∠AOB的角平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,
∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°,
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角,
∴∠KCD=∠HCE,
∴△CKD≌△CHE,
∴DK=EH,
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,
由(1)知:OH+OK=
OC,
∴OD,OE,OC满足OE-OD=
OC.
∵△CDO为Rt△,
∴OC=
OD2+CD2 |
OD2+OD2 |
2 |
∴
2 |
2 |
2 |
由题意得四边形ODCE是正方形,
∴OD+OE=OD+OD=2OD,
∴OD+OE=
2 |
(2)过点C分别作CK⊥OA,垂足为K,CH⊥OB,垂足为H.
∵OM为∠AOB的角平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,
∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°,
又∵∠1与∠2都为旋转角,
∴∠1=∠2,
∴△CKD≌△CHE,
∴DK=EH,
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK.
由(1)知:OH+OK=
2 |
∴OD+OE=
2 |
(3)结论不成立.
过点C分别作CK⊥OA,
CH⊥OB,
∵OC为∠AOB的角平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,
∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°,
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角,
∴∠KCD=∠HCE,
∴△CKD≌△CHE,
∴DK=EH,
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,
由(1)知:OH+OK=
2 |
∴OD,OE,OC满足OE-OD=
2 |
点评:本题考查旋转的性质:旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变,两组对应点连线的交点是旋转中心.
练习册系列答案
相关题目