题目内容
已知直线y1=-
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![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/8/17d8adc5.png)
①求抛物线的解析式;
②在抛物线上是否存在一点P(除点A外),使点P关于直线y1=-
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分析:(1)直线y1与x、y轴分别交于A、B两点,求得A与B的坐标,然后由待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)首先过点P作PH⊥OA于H,由OB=
,OA=3,根据tan∠BAO=
,即可求得∠BAO=30°,又由PQ关于AB对称,∠OAB=60°,然后设P的坐标为(x,-
x2+
x+
),即可求得点P的坐标,继而求得此时四边形APBQ的面积.
(2)首先过点P作PH⊥OA于H,由OB=
3 |
OB |
OA |
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2 |
3 |
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解答:解:①∵直线y1与x、y轴分别交于A、B两点,
∴当x=0时,y=
,
当y=0时,x=3,
∴A(3,0),B(0,
),
∵抛物线y2过A、B两点,
∴
,
解得:
,
∴抛物线的解析式为:y=-
x2+
x+
=-
(x-1)2+
;
(2)如图,过点P作PH⊥OA于H,![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/8/4f29c8d9.png)
∵OB=
,OA=3,
∴tan∠BAO=
=
,
∴∠BAO=30°,
∵PQ关于AB对称,
∴∠OAP=60°,
设P的坐标为(x,-
x2+
x+
),
∴OH=x,AH=3-x,
∴tan∠OAP=tan60°=
=
=
,
解得:x=2或x=3(舍去),
∴点P(2,
),
∴AP=2,
∴PQ=2,
∵AB=2
,
∴S四边形APBQ=
PQ•AB=
×2×2
=2
.
∴存在,点P的坐标为(2,
),此时四边形APBQ的面积为2
.
∴当x=0时,y=
3 |
当y=0时,x=3,
∴A(3,0),B(0,
3 |
∵抛物线y2过A、B两点,
∴
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解得:
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∴抛物线的解析式为:y=-
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2 |
3 |
3 |
3 |
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4 |
3 |
3 |
(2)如图,过点P作PH⊥OA于H,
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201201/8/4f29c8d9.png)
∵OB=
3 |
∴tan∠BAO=
OB |
OA |
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3 |
∴∠BAO=30°,
∵PQ关于AB对称,
∴∠OAP=60°,
设P的坐标为(x,-
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3 |
2 |
3 |
3 |
3 |
∴OH=x,AH=3-x,
∴tan∠OAP=tan60°=
PH |
AH |
-
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3-x |
3 |
解得:x=2或x=3(舍去),
∴点P(2,
3 |
∴AP=2,
∴PQ=2,
∵AB=2
3 |
∴S四边形APBQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
∴存在,点P的坐标为(2,
3 |
3 |
点评:此题考查了二次函数的综合应用.此题综合性很强,难度较大,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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