Question

阅读材料：
在直角坐标系中，已知平面内A（x₁，y₂）、B（x₁，y₂）两点坐标，则A、B两点之间的距离等于

(x2-x2)2(y2-y1)2

．
例：说明代数式

x2+1

+

(x-3)2+4

的几何意义，并求它的最小值．
解：

x2+1

+

(x-3)2+4

=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-3)2+(0-2)2

，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则

(x-0)2+(0-1)2

可以看成点P与点A（0，1）的距离，

(x-3)2+(0-2)2

可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=

3

，CB=

3

，所以A′B=

3

2

，即原式的最小值为

3

2

．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）完成上述填空．
（2）代数式

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B

（2，3）

的距离之和．（填写点B的坐标）
（3）求代数式

x2+49

+

x2-12x+37

的最小值．（画图计算）

Answer 1

分析：（1）根据B、A′的坐标求出A′C=3，BC=3，由勾股定理求出A′B即可．
（2）

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，即可得出答案．
（3）求出

x2+49

+

x2-12x+37

=

(x-0)2+(0-7)2

+

(x-6)2+(0-1)2

，得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，作A关于x轴的对称点为A′，求出A′B即可．

解答：解：（1）∵B（3，2），A′（0，-1），
∴A′C=3，BC=2-（-1）=3，
由勾股定理得：A′B=

32+32

=3

2

，
即原式的最小值是3

2

，
故答案为：3，3，3

2

，3

2

．

（2）∵

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，
∴代数式

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，
故答案为：（2，3）．

（3）

x2+49

+

x2-12x+37

=

x2+72

+

(x-6)2+12

=

(x-0)2+(0-7)2

+

(x-6)2+(0-1)2

，
即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，
如图所示，
∵设A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
∵A（0，7），B（6，1），
∴A′，-7），
∴A′C=6，BC=8，
由勾股定理得：A′B=

62+82

=10，
即代数式

x2+49

+

x2-12x+37

的最小值是10．

点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，主要考查学生的阅读理解能力和计算能力．．