题目内容
已知:如图,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以AB为边,在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB,过B作BC⊥AB,交AE于点C.(1)当B点的横坐标为
| ||
3 |
(2)当点B在x轴上运动时,设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时,点C也与O点重合);
(3)设过点P(0,-1)的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1,y1)、M2(x2,y2),且x12+x22-6(x1+x2)=8,求直线l的解析式.
分析:(1)根据题意得:∠AOB=∠ABC=90°,∠OAB=∠CAB,所以△AOB∽△ABC,由相似三角形的性质,相似三角形的对应边成比例,即可求得;
(2)当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D,过C作CH⊥x轴,交x轴于点H,则可证得AC=AD,因为AO⊥OB,AB⊥BD,所以△ABO∽△BDO,根据相似三角形的性质即可求得;
(3)首先求得交点坐标的方程,根据根与系数的关系求解即可.
(2)当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D,过C作CH⊥x轴,交x轴于点H,则可证得AC=AD,因为AO⊥OB,AB⊥BD,所以△ABO∽△BDO,根据相似三角形的性质即可求得;
(3)首先求得交点坐标的方程,根据根与系数的关系求解即可.
解答:解:(1)方法一:在Rt△AOB中,可求得AB=
,(1分)
∵∠OAB=∠BAC,∠AOB=∠ABC=Rt90°
∴△ABO∽△ACB,(2分)
∴
=
,
由此可求得:AC=
;(3分)
方法二:由题意知:tan∠OAB=
=
,(1分)
由勾股定理可求得AB=
2分,
在△ABC中,tan∠BAC=tan∠OAB=
,
可求得AC=
;(3分)
(2)方法一:当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D,
过C作CH⊥x轴,交x轴于点H,则可证得AC=AD,
∵AO⊥OB,AB⊥BD,
∴△ABO∽△BDO,
则OB2=AO×OD,(6分)
即(
)2=1×|-y|,
化简得:y=
,
当O、B、C三点重合时,y=x=0,
∴y与x的函数关系式为:y=
;(7分)
方法二:过点C作CG⊥x轴,交AB的延长线于点H,
则AC2=(1-y)2+x2=(1+y)2,化简即可得;
(3)设直线的解析式为y=kx+b,
则由题意可得:
,
消去y得:x2-4kx-4b=0,
则有
,
由题设知:x12+x22-6(x1+x2)=8,
即(4k)2+8b-24k=8,且b=-1,
则16k2-24k-16=0,
解之得:k1=2,k2=-
,
当k1=2、b=-1时,
△=16k2+16b=64-16>0,符合题意;
当k2=-
,b=-1时,△=16k2+16b=4-16<0,不合题意(舍去),
∴所求的直线l的解析式为:y=2x-1.
2
| ||
3 |
∵∠OAB=∠BAC,∠AOB=∠ABC=Rt90°
∴△ABO∽△ACB,(2分)
∴
AO |
AB |
AB |
AC |
由此可求得:AC=
4 |
3 |
方法二:由题意知:tan∠OAB=
OB |
OA |
| ||
3 |
由勾股定理可求得AB=
2
| ||
3 |
在△ABC中,tan∠BAC=tan∠OAB=
| ||
3 |
可求得AC=
4 |
3 |
(2)方法一:当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D,
过C作CH⊥x轴,交x轴于点H,则可证得AC=AD,
∵AO⊥OB,AB⊥BD,
∴△ABO∽△BDO,
则OB2=AO×OD,(6分)
即(
x |
2 |
化简得:y=
x2 |
4 |
当O、B、C三点重合时,y=x=0,
∴y与x的函数关系式为:y=
x2 |
4 |
方法二:过点C作CG⊥x轴,交AB的延长线于点H,
则AC2=(1-y)2+x2=(1+y)2,化简即可得;
(3)设直线的解析式为y=kx+b,
则由题意可得:
|
消去y得:x2-4kx-4b=0,
则有
|
由题设知:x12+x22-6(x1+x2)=8,
即(4k)2+8b-24k=8,且b=-1,
则16k2-24k-16=0,
解之得:k1=2,k2=-
1 |
2 |
当k1=2、b=-1时,
△=16k2+16b=64-16>0,符合题意;
当k2=-
1 |
2 |
∴所求的直线l的解析式为:y=2x-1.
点评:此题考查了相似三角形的综合应用,解题时要注意仔细审题,还要注意数形结合思想的应用.
练习册系列答案
相关题目