题目内容
【题目】如图1，已知二次函数
(
为常数，
)的图象过点
和点
，函数图象最低点
的纵坐标为
．直线
的解析式为
求二次函数的解析式；
直线沿
轴向右平移，得直线
，与线段
相交于点
，与轴下方的抛物线相交于点
，过点作
轴于点
，把
沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上点
时(图求直线的解析式；
在的条件下，与
轴交于点
，把
绕点
逆时针旋转
得到
，P为上的动点，当
为等腰三角形时，求符合条件的点
的坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）满足条件的点
坐标为
或
或
【解析】
（1）先得出抛物线的顶点坐标，从而设出抛物线的顶点式，再将
代入求解即可；
（2）设直线
的解析式为
，从而可得点B、
的坐标，再根据翻转的性质可得四边形
是矩形，然后根据对称性得出点E、C的坐标，最后根据点C、的纵坐标相等列出等式求解即可；
（3）先根据直线的解析式得出点B、N的坐标，再根据旋转的性质得出点
、
的坐标，然后根据等腰三角形的定义，分三种情况，分别根据两点之间的距离公式求解即可．
（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为
，即
由此可设抛物线的解析式为
把
代入得
，解得
则抛物线的解析式为
，即；
（2）设直线
沿
轴向右平移m个单位长度，则直线的解析式为，点B的坐标为
由题意得：
，四边形是矩形
点C与点均在抛物线上
点C与点关于抛物线的对称轴
对称
点E与点B关于抛物线的对称轴对称
点B的坐标为
点E的坐标为
，点的坐标为
点C的坐标为
则
解得
或
（不符题意，舍去）
故直线的解析式为；
（3）由（2）可知，直线的解析式为，点B的坐标为
令
得
，则点N的坐标为
是等腰直角三角形
把
绕点
逆时针旋转
得到
则点在直线
上，点在直线
上，且
，
点的坐标为
，点的坐标为
设
则
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当
时，即
则
解得
此时点P的坐标为
②当
时，即
则
解得
此时点P的坐标为
或
③当
时，即
则
整理得
，此方程的根的判别式
，则此方程没有实数根
即此时没有满足条件的点P
综上，满足条件的点坐标为或或
．
