题目内容

【题目】如图,P1、P2是反比例函数y= (k>0)在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为(4,0).若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形,其中点P1、P2为直角顶点.

(1)求反比例函数的解析式.
(2)①求P2的坐标.
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.

【答案】
(1)

解:过点P1作P1B⊥x轴,垂足为B

∵点A1的坐标为(4,0),△P1OA1为等腰直角三角形

∴OB=2,P1B= OA1=2

∴P1的坐标为(2,2)

将P1的坐标代入反比例函数y= (k>0),得k=2×2=4

∴反比例函数的解析式为


(2)

解:

①过点P2作P2C⊥x轴,垂足为C

∵△P2A1A2为等腰直角三角形

∴P2C=A1C

设P2C=A1C=a,则P2的坐标为(4+a,a)

将P2的坐标代入反比例函数的解析式为 ,得

a= ,解得a1= ,a2= (舍去)

∴P2的坐标为(

②在第一象限内,当2<x<2+ 时,一次函数的函数值大于反比例函数的值


【解析】(1)先根据点A1的坐标为(4,0),△P1OA1为等腰直角三角形,求得P1的坐标,再代入反比例函数求解;(2)先根据△P2A1A2为等腰直角三角形,将P2的坐标设为(4+a,a),并代入反比例函数求得a的值,得到P2的坐标;再根据P1的横坐标和P2的横坐标,判断x的取值范围.本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2的坐标.等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.

练习册系列答案
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【题目】n边形的对角线把n边形分割成(n-2)个三角形,共有多少种不同的分割方案(n≥4)?

(探究)为了解决上面的数学问题,我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单情形入手,再逐次递进转化,最后猜想得出结论.不妨假设n边形的分割方案有Pn种.

探究一用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形,共有多少种不同的分割方案?

如图,图,显然,只有2种不同的分割方案.所以,P4=2.

探究二:用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形,共有多少种不同的分割方案?

不妨把分割方案分成三类:

1类:如图③,用A,EB连接,先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有P4种不同的分割方案,所以,此类共有P4种不同的分割方案.

2类:如图④,用A,EC连接,把五边形分割成3个三角形,有1种不同的分割方案,可视为种分割方案.

3图⑤,用A,ED连接,先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形,再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有P4种不同的分割方案,所以,此类共有P4种不同的分割方案.

所以,P5 =++=()

探究三:用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形,共有多少种不同的分割方案?

不妨把分割方案分成四类:

1类:如图⑥,用A,FB连接,先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形,再把五边形分割成3个三角形,由探究二知,有P5种不同的分割方案.所以,此类共有P5种不同的分割方案.

2类:如图⑦,用A,FC连接,先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形.再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有P4种不同的分割方案.所以,此类共有P4种分割方案

3类:如图⑧,用A,FD连接,先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形.再把四边形分割成2个三角形,由探究一知,有P4种不同的分割方案.所以,此类共有P4种分割方案.

4类:如图⑨,用A,FE连接,先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形.再把五边形分割成3个三角形,由探究二知,有P5种不同的分割方案.所以,此类共有P5种分割方案.

所以,P6 =()

探究四:用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形,则P7P6的关系为:

P7 = ,共有_____种不同的分割方案.……

(结论)用n边形的对角线把n边形分割成(n-2)个三角形,共有多少种不同的分割方案(n≥4)?(直接写出PnPn -1的关系式,不写解答过程).

(应用)用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形,共有多少种不同的分割方案? (应用上述结论,写出解答过程)

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