Question

【题目】如图，P1、P2是反比例函数y= （k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．

（1）求反比例函数的解析式．
（2）①求P2的坐标．
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B

∵点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形

∴OB=2，P1B= OA1=2

∴P1的坐标为（2，2）

将P1的坐标代入反比例函数y= （k＞0），得k=2×2=4

∴反比例函数的解析式为

（2）

解：

①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C

∵△P2A1A2为等腰直角三角形

∴P2C=A1C

设P2C=A1C=a，则P2的坐标为（4+a，a）

将P2的坐标代入反比例函数的解析式为 ，得

a= ，解得a1= ，a2= （舍去）

∴P2的坐标为（ ， ）

②在第一象限内，当2＜x＜2+ 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值

【解析】（1）先根据点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．