题目内容
如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．求证：四边形DECF为菱形．
略
证法一：连结CD
∵ DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四边形DECF为平行四边形，
∵∠CAB、∠ABC的平分线交于点D
∴点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
∵DF∥BC
∴∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD，
∴ 平行四边形DECF为菱形． 6分
证法二：过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF．
∴平行四边形DECF为菱形．……………6分
∵ DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四边形DECF为平行四边形，
∵∠CAB、∠ABC的平分线交于点D
∴点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
∵DF∥BC
∴∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD，
∴ 平行四边形DECF为菱形． 6分
证法二：过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF．
∴平行四边形DECF为菱形．……………6分
练习册系列答案
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，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下列结论：
；②
；③AB = BH；④
；⑤BH = HG．
