题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,如果点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,那么称P为和谐点.
(1)若点A(a,2)是正比例函数y=kx(k≠0,k为常数)上的一个和谐点,求这个正比例函数的解析式;
(2)试判断函数y=﹣2x+1的图象上是否存在和谐点?若存在,求出和谐点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)直线l:y=kx+2经过和谐点P,且与反比例函数G:y=﹣ 交于M、N两点,若点P的纵坐标为3,求出直线l的解析式,并在x轴上找一点Q使得QM+QN最小.

【答案】
(1)

解:∵点A(a,2)是正比例函数y=kx(k≠0,k为常数)上的一个和谐点,

∴a+2=2a,

∴a=2,

∴A(2,2),

∴2=2k,

∴k=1,

∴正比例函数的解析式为y=x


(2)

解:不存在.理由如下,

设M(a,b)是函数y=﹣2x+1的图象上和谐点,

则有 ,消去b得,a﹣2a+1=a(﹣2a+1),整理得2a2﹣2a+1=0,

∵△=4﹣8=﹣4<0,

∴方程无解,

∴函数y=﹣2x+1的图象上不存在和谐点


(3)

解:由题意假设P(x,3),则x+3=3x,

∴x=

∴P( ,3),代入y=kx+2得3= k+2,

∴k=

∴直线l的解析式的解析式为y= x+2,

解得

不妨设M(﹣1, ),N(﹣2, ),如图,作点N关于x轴的对称点N′,连接MN′交x轴于Q,此时NQ+QM最小.

∵N′(﹣2,﹣ ),M(﹣1, ),

∴直线MN′的解析式为y=2x+

令y=0得到,x=﹣

∴点Q的坐标为(﹣ ,0)


【解析】(1)根据和谐点,列出方程求出a以及点A坐标,即可解决问题.(2)不存在.设M(a,b)是函数y=﹣2x+1的图象上和谐点,则有 ,消去b得,a﹣2a+1=a(﹣2a+1),整理得2a2﹣2a+1=0,由△=4﹣8=﹣4<0,可知方程无解,由此即可判断.(3)首先根据和谐点的定义求出点P的坐标,即可求出直线l的解析式,利用方程组求出点M、N的坐标,如图,作点N关于x轴的对称点N′,连接MN′交x轴于Q,此时NQ+QM最小.求出直线N′M的解析式即可解决问题.

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