题目内容

【题目】已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动(点M与点A、点D不重合).

(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明BMC=90°;

(2)如图2,当a=2,b=5,求点M运动到什么位置时,BMC=90°;

(3)如图3,在第(2)问的条件下,若另一动点N从点C出发沿边C→M→B运动,且点M、点N的出发时间与运动速度都相同,过点N作AD和垂线交AD于点H,当MNH与MBC相似时,求MH的长.

【答案】(1)详见解析;(2)AM=1或4时,BMC=90°;(3)MNH与MBC相似时,MH=8﹣﹣2.

【解析】

试题分析:(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD是矩形,即可求得AMB=DMC=45°,则可求得BMC=90°;(2)根据已知条件得到AMB+DMC=90°,根据余角的性质得到ABM=DMC,根据相似三角形的性质得到,代入数据即可得到结论.(3)①当点N在CM上时,由MNH与MBC相似,得到BMC=MHN=90°,当AM=CN=1时,根据相似三角形的性质列方程求得结论;当AM=CN=4时,DM=1,CM=4,这种情况不存在;②当点N在BM上时,当AM=CN=1时,同理这种情况不存在;当AM=CN=4时,即CM+MN=4,根据相似三角形的性质即可得到结论.

试题解析:(1)证明:b=2a,点M是AD的中点,

AB=AM=MD=DC=a,

在矩形ABCD中,A=D=90°,

∴∠AMB=DMC=45°,

∴∠BMC=90°.

(2)解:若BMC=90°,

AMB+DMC=90°,

∵∠AMB+ABM=90°,

∴∠ABM=DMC,

∵∠A=D=90°,

∴△ABM∽△DMC,

设AM=x,则

x=1或4,

AM=1或4时,BMC=90°;

(3)解:①当点N在CM上时,

∵△MNH与MBC相似,

∴∠BMC=MHN=90°,

当AM=CN=1时,

DM=4,CM=2

MN=2﹣1,

NHAD,D=90°,

NHCD,

MH=8﹣

当AM=CN=4时,

DM=1,CM=4,

这种情况不存在;

②当点N在BM上时,

当AM=CN=1时,同理这种情况不存在;

当AM=CN=4时,即CM+MN=4,

CM=

MN=4﹣,BM=2

HNAB,

∴△MHNABM,

,即

MH=﹣2.

综上所述:MNH与MBC相似时,MH=8﹣﹣2.

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