Question

（任选一题做）
（1）如图，∠ABC位于6×8的方格纸中，则tan(

1

2

∠ABC)=

 

．

（2）如图，物理学家在对原子结构研究中，在一个宽m的矩形粒子加速器中，一中子从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点．如果MC=n，∠CMN=α．那么P点与B点的距离
为

 

．

Answer 1

分析：（1）过A点作AD⊥BC，垂足为D，作∠ABC的角平分线BE，过E点作EF⊥AB，垂足为F．利用勾股定理求出AB，利用角平分线的性质求出ED，然后求出tan∠EBD即可．
（2）根据图形的轴对称性质可知，△PBN∽△MCN，然后利用相似三角形的对应边成比例，将MC=n，∠CMN=α代入即可求出P点与B点的距离．

解答：（1）解：过A点作AD⊥BC，垂足为D，作∠ABC的角平分线BE，过E点作EF⊥AB，垂足为F．
∵∠ABC位于6×8的方格纸中，
∴BD=3，AD=4，AB=

AD2+BD2

=5，
∵BE是∠ABC的角平分线，EF⊥AB，
∴EF=ED，
∴BF=BD=3，则AF=AB-BF=5-3=2，
设ED为x，则AE=4-x，
x=

AE2-AF2

=

(4-x)2-22

，
则x=

3

2

，tan∠EBD=

3

2 3

=

1

2

，
∴tan（

1

2

∠ABC）=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

（2）由图形的轴对称性质可知，△PBN∽△MCN
∴

CN

MC

=

BN

BP

=tanα，
∵MC=n，
∴

BN

BP

=

CN

n

=tanα，
∴CN=ntanα，BN=BP•tanα，
∴CN+NB=ntanα+BP•tanα=m，
∴BP=

m-ntanα

tanα

．
故答案为：

m-ntanα

tanα

．

点评：本题考查了正切三角函数定义、角平分线的性质，矩形的性质，图形的轴对称性质，同时还考查了相似三角形的性质与应用，有一定的拔高难度，属于难题．