Question

如图（1），小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图（2）），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30．再将这两张三角纸片摆成如图（3）的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图（3）至图（6）中统一用F表示）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图（3）中△ABF沿BD向右平移到图（4）的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图（3）中△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图（5）的位置，A．F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图（3）中的△ABF沿直线AF翻折到图（6）的位置，AB，交DE丁点H，请证明：AH=DH．

Answer 1

（1）5；（2）；（3）证明见试题解析．

试题分析：（1）根据题意，分析可得：图形平移的距离就是线段BF的长，进而在Rt△ABC中求得BF=5cm，即图形平移的距离是5cm；
（2）在Rt△EFD中，求出FD的长，根据直角三角形的性质，可得：FG=FD，即可求得FG的值；
（3）借助平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，容易证明．
试题解析：（1）图形平移的距离就是线段BF的长，又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，∴BF=5cm，∴平移的距离为5cm；
（2）∵∠A₁FA=30°，∴∠GFD=60°，∠D=30°，∴∠FGD=90°，在Rt△EFD中，ED=10cm，∵FD=，∴FG=cm；
（3）△AHE与△DHB₁中，∵∠FAB₁=∠EDF=30°，∵FD=FA，EF=FB=FB₁，∴FD﹣FB₁=FA﹣FE，即AE=DB₁，又∵∠AHE=∠DHB₁，∴△AHE≌△DHB₁（AAS），∴AH=DH．