题目内容
【题目】如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8 cm，点P在CD边上，AP=AB， PC=4cm，连结PB．点M从点P出发，沿PA方向匀速运动（点M与点P、A不重合）；点N同时从点B出发，沿线段AB的延长线匀速运动，连结MN交PB于点F．
（1）求AB的长；
（2）若点M的运动速度为1cm/s，点N的运动速度为2cm/s，△AMN的面积为S，点M和点N的运动时间为
，求S与
的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点M和点N的运动速度相等，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
【答案】（1）10；（2）
时，S取得最大值为45．（3）点M、N在运动过程中，线段EF的长度不变，长度为
．
【解析】试题分析：（1）设AB=x，根据折叠可得AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，即82+（x-4）2=x2，即可解答；（2）过点M作MG⊥AN于点G，则∠AGM=∠D＝90°，所以∠APD=∠MAG，则Rt△APD∽Rt△MAG，所以
，即
，可得出
， 又因为
，所以
，则当
时，S取得最大值为45；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据MH⊥PQ，得出HQ=
PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=
QB，再求出EF=
PB，最后代入HF=
PB即可得出线段EF的长度不变；
试题解析：
（1）设AB= 
，则AP= 
，DP= 
，
在Rt△ADP中， 由勾股定理得：
，
解得： 
，
∴AB =10．
（2）过点M作MG⊥AN于点G，则∠AGM=∠D＝90°，
∵DC∥AB，
∴∠APD=∠MAG，
∴Rt△APD∽Rt△MAG，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
∴当
时，S取得最大值为45．
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，
∴∠APB=∠MQP，
∴MP=MQ，
∵ME⊥PQ，
∴PE=EQ=
PQ，
∵BN=PM，PM=MQ，
∴BN=QM，
∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
∵
，
∴△MFQ≌△NFB，
∴QF=BF，
∴QF=
QB，
∴EF=EQ+QF=
PQ+
QB=
PB，
在Rt△PBC中，
∵PC=4，BC=8，
∴
，
∴EF=
PB=
，
∴点M、N在运动过程中，线段EF的长度不变，长度为
．
