题目内容

如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,-),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).

(1)求抛物线的解析式及A,B两点的坐标;
(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由;
(3)在以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式.
(1)y=x2-x+2  A(2,0),B(6,0)
(2)存在,2
(3)y=-x+2

解:(1)如图,

由题意,设抛物线的解析式为y=a(x-4)2-(a≠0)
∵抛物线经过(0,2)
∴a(0-4)2-=2
解得:a=
∴y=(x-4)2-
即:y=x2-x+2
当y=0时,x2-x+2=0
解得:x=2或x=6
∴A(2,0),B(6,0);
(2)存在,
如图2,由(1)知:抛物线的对称轴l为x=4,

因为A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,则AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小
∵B(6,0),C(0,2)
∴OB=6,OC=2
∴BC=2
∴AP+CP=BC=2
∴AP+CP的最小值为2
(3)如图3,连接ME,

∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE,∠CEM=90°
由题意,得OC=ME=2,∠ODC=∠MDE
∵在△COD与△MED中

∴△COD≌△MED(AAS),
∴OD=DE,DC=DM
设OD=x则CD=DM=OM-OD=4-x
则RT△COD中,OD2+OC2=CD2
∴x2+22=(4-x)2
∴x=
∴D(,0)
设直线CE的解析式为y=kx+b
∵直线CE过C(0,2),D(,0)两点,

解得:
∴直线CE的解析式为y=-x+2。
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