题目内容
【题目】如图,直线y=2x+2与y轴交于A点,与反比例函数(x>0)的图象交于点M,过M作MH⊥x轴于点H,且tan∠AHO=2.
(1)求k的值;
(2)点N(a,1)是反比例函数(x>0)图象上的点在x轴上是否存在点P,使得PM+PN最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)4;(2)存在,P点坐标为(,0).
【解析】试题分析:(1)根据直线解析式求A点坐标,得OA的长度;根据三角函数定义可求OH的长度,得点M的横坐标;根据点M在直线上可求点M的坐标.从而可求K的值;
(2)根据反比例函数解析式可求N点坐标;作点N关于x轴的对称点N1,连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置.
试题解析:(1)由y=2x+2可知A(0,2),即OA=2.
∵tan∠AHO=2,∴OH=1.
∵MH⊥x轴,∴点M的横坐标为1.
∵点M在直线y=2x+2上,
∴点M的纵坐标为4.即M(1,4).
∵点M在y= 上,
∴k=1×4=4.
(2)存在.
过点N作N关于x轴的对称点N1,连接MN1,交x轴于P(如图所示).此时PM+PN最小.
∵点N(a,1)在反比例函数y=(x>0)上,
∴a=4.即点N的坐标为(4,1).
∵N与N1关于x轴的对称,N点坐标为(4,1),
∴N1的坐标为(4,-1).
设直线MN1的解析式为y=kx+b.
由
解得k=-,b=.
∴直线MN1的解析式为y=x+.
令y=0,得x=.
∴P点坐标为(,0).
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