题目内容
【题目】如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,∠ACB=90°,∠BAC=30°.给出如下结论:
①EF⊥AC; ②四边形ADFE为菱形; ③AD=4AG; ④FH=BD
其中正确的结论有( ).
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】∵△ACE是等边三角形,∴∠EAC=60°,AE=AC.
∵∠BAC=30°,∴∠FAE=∠ACB=90°,AB=2BC.
∵F为AB的中点,∴AB=2AF,∴BC=AF,∴△ABC≌△EFA,∴FE=AB,
∴∠AEF=∠BAC=30°,∴EF⊥AC,故①正确,
∵EF⊥AC,∠ACB=90°,∴HF∥BC.
∵F是AB的中点, .
,AB=BD,
,故④说法正确;
∵AD=BD,BF=AF,∴∠DFB=90°,∠BDF=30°.
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°,∴∠DFB=∠EAF.
∵EF⊥AC,∴∠AEF=30°,∴∠BDF=∠AEF,∴△DBF≌△EFA(AAS),∴AE=DF.
∵FE=AB,∴四边形ADFE为平行四边形.
∵AE≠EF,∴四边形ADFE不是菱形;故②说法不正确;
∵四边形ADFE为平行四边形,
,
.
∵AD=AB,∴AD=4AG,故③说法正确,
所以正确的有:①③④.故选C.
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