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精英家教网如图,P为等边△ABC内一点,PA、PB、PC的长为正整数,且PA2+PB2=PC2,设PA=m,n为大于5的实数,满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45,求△ABC的面积.
分析:由已知求出PA、PB、PC的长度,设∠PAB=Q,等边三角形的边长是a,∠PAC=60°-Q,根据锐角三角函数(余弦定理)求出cosQ和cos(60°-Q)的值,即可求出a的长度,过A作AD⊥BC于D,求出AD的长度,根据三角形的面积公式即可求出答案.
解答:解:m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45,
∴分解因式得:(n-5)(m-3)2≤0,
∵n为大于5的实数,
∴m-3=0,∵即:PA=m=3,
∵PA2+PB2=PC2,PA、PB、PC的长为正整数,
∴PB=4,PC=5,
设∠PAB=Q,等边三角形的边长是a,
则∠PAC=60°-Q,
由余弦定理得:cosQ=
AB2+PA2-BP2
2AB•PA
=
a2-7
6a
,(1)
cos(60°-Q)=
PA2+AC2-PC2
2PA•AC
=
a2-16
6a
,(2)
而cos(60°-Q)=cos60°cosQ-sin60°sinQ,
=
cosQ
2
-
3
sinQ
2
=
a2-16
6a
,(3)
将(1)代入(3)得:
1
2
(a2-7)
6a
-
3
sinQ
2
=
a2-16
6a

解得:sinQ=
25-a2
6
3
a

∵(sinQ)2+(cosQ)2=1,
(
25-a2
6
3
a
)
2
+(
a2-7
6a
)
2
=1,
令a2=t,
(25-t)2
108t
+
(t-7)2
36t
=1,
解得:t1=25+12
3
,t2=25-12
3

由(1)知a>0,cosQ>0,
a2-7
6a
>0,a2>7,
∴t2=25-12
3
<7,不合题意舍去,
∴t=25-12
3

即a2=25-12
3

过A作AD⊥BC于D,
∵等边△ABC,
∴BD=CD=
1
2
a,
由勾股定理得:AD=
3
2
a

∴S△ABC=
1
2
•a•
3
2
a
=
3
4
a2
=9+
25
4
3

答:△ABC的面积是9+
25
4
3
点评:本题主要考查了勾股定理的逆定理,用公式法解一元二次方程,用提取公因式法分解因式,余弦定理等知识点,运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键.题型较好但难度较大.
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