Question

如图，已知平面坐标系中，A（-1，5），B（2，0），C（-3，-1）．
（1）求出△ABC的面积；
（2）写出A、B、C三点关于y=3的直线对称点A₁、B₁、C₁的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC最短，求出P点坐标．

Answer 1

解：（1）设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-1，5），C（-3，-1）代入得：，
解得：k=3，b=8，
∴y=3x+8，
把y=0时，0=3x+8，
∴x=-，
∴D（-，0），
∴△ABC的面积是S_△ABD+S_△BCD=×（2+）×5+×（2+）×1=14．
答：△ABC的面积是14．

（2）根据轴对称的性质得到A₁（-1，1），B₁（2，6），C₁（-3，7）．

（3）作A关于Y轴的对称点M，连接CM交Y轴于P，则P为所求，
M的坐标是（1，5），
设直线MC的解析式是：y=ax+c，
代入得：，
解得：a=，c=，
∴y=x+，
把x=0代入得：y=，
∴P（0，）．
答：P点坐标是（0，）．
分析：（1）设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（-1，5），C（-3，-1）代入得到方程组，求出方程组的解，求出直线与X轴的交点坐标，根据三角形的面积求出即可；
（2）根据轴对称的性质求出即可；
（3）求出A关于Y轴的对称点M的坐标，连接CM交Y轴于P，求出直线MC的解析式，求出与Y轴的交点即可．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称-最短问题，坐标与图形变化-对称等知识点的连接和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．