题目内容
在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，且| AE |
| EB |
| BF |
| FC |
| AH |
| HD |
| DG |
| GC |
如图，连接BD，∵
| AE |
| EB |
| AH |
| HD |
| BF |
| FC |
| DG |
| GC |
（1）连接AC，则EF与GH是否一定平行，答：
（2）当k值为
（3）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足
（4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足
分析：（1）当E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点时，EF与GH一定平行；
（2）要使四边形EFGH为平行四边形，E，F，G，H必须分别是AB，BC，CD，DA的中点；
（3）要使平行四边形EFGH为矩形，则对角线AC与BD必须垂直，
（3）要使平行四边形EFGH为菱形，则对角线AC与BD必须相等．
（2）要使四边形EFGH为平行四边形，E，F，G，H必须分别是AB，BC，CD，DA的中点；
（3）要使平行四边形EFGH为矩形，则对角线AC与BD必须垂直，
（3）要使平行四边形EFGH为菱形，则对角线AC与BD必须相等．
解答：解：（1）∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，∴EH与AC，FG与AC都不一定平行，EF与GH不一定平行；
（2）∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH，
∴
=
，
∵
=
，
∴BF=CF，
∴k=1；
（3）当AC⊥BD时，EFGH为矩形．
由（2）得：四边形OMHN是平行四边形，
∴∠H=∠MON=90°，
∴平行四边形EFGH为矩形；
（4）当AC=BD时，
∵EH=GF=
BD，EF=GH=
AC，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
（2）∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH，
∴
| AE |
| EB |
| CF |
| BF |
∵
| AE |
| EB |
| BF |
| CF |
∴BF=CF，
∴k=1；
（3）当AC⊥BD时，EFGH为矩形．
由（2）得：四边形OMHN是平行四边形，
∴∠H=∠MON=90°，
∴平行四边形EFGH为矩形；
（4）当AC=BD时，
∵EH=GF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
点评：掌握特殊平行四边形的判定是解此题的关键．
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