Question

猜想、探究题：
（1）观察与发现
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD（AB＜BC）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．
猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的大小．

Answer 1

分析：（1）第一次折叠，AC落在AB边上，则折痕AD平分∠BAC，∠EAD=∠FAD；第二次折叠，A、D重合，则∠EAF=∠EDF、∠EDA=∠FDA；AD=AD；易证得△AED≌△AFD，得AE=AF、DE=DF，再根据第二次折叠所得到的AE=DE、AF=FD，可证得四边形AEDF的四边相等，利用等腰三角形的判定方法即可得到△AEF为等腰三角形．
（2）根据折叠的性质得到四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°；∠BEG=∠DEG=67.5°，而AD∥BC，得∠BGE=∠DEG，则△EBG为等腰三角形，得到∠FEG=67.5°-45°=22.5°．

解答：解：（1）证明：连接DE、DF，如图，
由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1=∠2，
由第二次折叠可知：∠CAB=∠EDF，∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，
在△AED与△AFD中，

∠1=∠2 AD=AD ∠3=∠4

，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形；

（2）△EBG的形状是等腰三角形．理由如下：
由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，
∴∠BED=

1

2

×（180°-45°）=135°．
又由折叠知，∠BEG=∠DEG=

1

2

∠BED=67.5°，
又∵AD∥BC，
∴∠BGE=∠BEG，
∴BG=BE，
即△EBG为等腰三角形．
又∵∠BEF=45°，
∴∠FEG=67.5°-45°=22.5°．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形相似的判定与性质．