Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M； AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．
（1）∠MAN的大小；
（2）求证：BM=CN．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，可求得∠B与∠C的度数，又由AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；可得AM=BM，继而求得∠MAB的度数，则可求得∠AMN的度数，继而求得答案；
（2）易得△AMN为等边三角形，则可得AM=AN=MN，又由BM=AM，CN=AN，即可证得结论．

解答：（1）解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵直线ME垂直平分AB，
∴BM=AM，
∴∠B=∠MAB=30°，
∴∠AMN=∠B+∠MAB=60°，
同理可得：∠ANM=60°．
∴∠MAN=180°-60°-60°=60°；

（2）证明：∵在△AMN中，∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形．               
即 AM=AN=MN，
又∵BM=AM，CN=AN，
∴BM=CN．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．