Question

已知以x为自变量的二次函数y=x²+2mx+m-7．
（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x的一元二次方程m²x²+（2m+3）x+1=0有两个实数根，且m为整数，求m的值；
（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x²+2（a+m）x+2a-m²+6 m-4=0有大于0且小于5的实数根，求a的整数值．

Answer 1

分析：（1）首先令y=0，然后求出△＞0，就求出方程有两个不相等的实数根；
（2）依题意得出当x=1时函数值小于0，那么m＜2；由抛物线有两个实数根求出△≥0，联立求出m值；
（3）由求根公式求出x的值，然后求出a的取值范围．

解答：（1）证明：令x²+2mx+m-7=0．
得△=（2m）²-4（m-7）=4(m-

1

2

)2+27．
∵不论m为任何实数，都有4(m-

1

2

)2+27＞0，即△＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为任何实数，二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2分）

（2）解：∵二次函数图象的开口向上，且与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，
∴当x=1时，y=1²+2m+m-7＜0．
解得m＜2．①（3分）
∵关于x的一元二次方程m²x²+（2m+3）x+1=0有两个实数根，
∴△=（2m+3）²-4m²≥0，且m²≠0．
解得m≥-

3

4

，且m≠0．②（4分）
∵m为整数，由①，②可得m的值是1；（5分）

（3）解：当m=1时，方程x²+2（a+m）x+2a-m²+6m-4=0为x²+2（a+1）x+2a+1=0．
由求根公式，得x=

-2(a+1)±2a

2

．
∴x=-2a-1或x=-1．（6分）
∵方程有大于0且小于5的实数根，
∴0＜-2a-1＜5．
∴-3＜a＜-

1

2

．
∴a的整数值为-2，-1．（7分）

点评：考查二次函数的图象与x轴都有两个交点，b²-4ac＞0；关于x的一元二次方程就有两个实数根，b²-4ac≥0．